【奥数揭秘】圆幂定理

2018-11-01 01:13:40  阅读 17 次 评论 0 条

  关于圆形上的定理有很多,其中一条课程内较少提到的是圆幂定理。有时候即使出现在课程内的练习里,也很少拿出来重点讨论。奥数里就比较注重这条定理,因为是基础知识的一部分。

  圆幂定理:过P点作直线交圆O于A和B(A和B可以重合),则PA.PB是一个定值,称为P对于圆O的幂。(图一)

  定理也就是说,若果过P的直线通过圆的另外两点A'及B',则有PA.PB=PA'.PB'。要留意,定理中的P点并不一定要求在圆外的,也可以在圆内,定理同样成立。

  定理背后的证明是很简单的,就只是用相似三角形和圆内接四边形的基本性质就行了。虽然背后的根据不太複杂,但作为平面上的点和圆之间的关係来说,定理指出的定值不太明显,也是一道能广泛应用的定理。至于定理中的定值是什,其实也是简单的,就是|OP2-R2|,其中R是圆的半径。这个读者可以想想为什幺。以下分享一道相关的问题。

  问 题

  已知一圆及平面上两个定点A和B。过A作一割线AMN,交圆周于M和N,并且不通过B。证明:经过M,N及B的圆,还通过另外一个定点,而与割线AMN的选取无关。

  答 案

  以下只按A和B都在圆外的情况讨论(如图二),其余类似。

  对于任意的AMN,作通过B、M和N的圆,连接AB,与圆相交于C。因此得AM.AN=AC.AB。由于AM.AN和AB都是常数,AC亦是常数,故此C是一个定点。

  解题过程之中,用上了圆幂定理,很快就作出了C点来。不过回想起来,若没有指明要用圆幂定理的话,也未必很直接就想出了那C点的。

  圆幂定理除了例题中的用法外,还有其他的用处,比如相关的命题还可以用来证明四点共圆,或证明一条直线与圆相切之类。不过,这些就不打算一一写出来了,免得好像把百科全书的条目抄出来似的。现在互联网的世界很发达,要找相关条目不难。

  初学这条定理,好像觉得不知为何算是一条定理似的,觉得只是一道习题的难度,这个笔者在学生时代也有这个疑惑。现在倒是觉得,平面上一个圆和一个点的情景普遍得很,而且由点上引直线相交于圆两点的情景,亦很常见。还可以用差不多的命题证明四点共圆,或直线与圆相切。这些都令到定理表达的结果有四通八达的感觉,比起平常一道只用来增进课业理解的习题,有更深远的意义。

  许多时候,学习就是要判断一个命题值不值得去记住。这点判断,背后多少是有理据的,随经验的增长,看同一个命题,感觉可以有分别。

  学生时代,可能觉得凡是叫定理的都要记,叫问题的就不用记,学多了可能会感到有些问题意思挺深远,值得记住那个结果。

  当然,学生时代,最好还是在记忆定理之中,尝试理解一下为什幺那个结果值得记住,比较容易学会如何鉴赏一个命题。这个就要在平凡的学习生活中去体会了。 ■张志基

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