【奥数揭秘】梅涅劳斯定理

2019-06-12 01:44:03  阅读 16 次 评论 0 条

  之前提过几何学中的塞瓦定理,通常会跟另一条定理并提,这就是梅涅劳斯定理。放在一起的原因很简单,就是因为梅涅劳斯定理可以用来证明塞瓦定理,不过写出来的话就太多算式,读者有兴趣可以上网找找看。

  梅涅劳斯定理:在△ABC的三边BC、CA及AB或其延长线上有点D,E及F,若D,E及F共线,则[BD][DC] .[CE][EA] .[AF][FB]  = 1(如图一)

  问 题

  问题:在图二里,△ABC内,D为BC的中点,E是AB上的一点,F为CE与AD的交点,其中FD = 2FA。求[AE][EB] 。

  答 案

  考虑△ABD及直线EFC,则有

  [AE][EB].[BC][CD].[DF][FA]= 1

  [AE][EB].[2][1].[2][1] = 1

  [AE][EB]= [1][4] 

  刚才这道题目,若果没用到梅涅劳斯定理,也可以用三角形的线段比与面积比做到,有兴趣的读者可以试试。

  这些线段比的问题,在奥数里初次接触的时间,多数在小五小六的比赛题目里,通常是最难的那几题。梅涅劳斯定理和塞瓦定理,为这些线段比的问题,提供了线索。

  梅涅劳斯定理的背景是简单的,就是一个三角形和另一条线与三角形三边的交点,就有这个线段比关係。任意一个三角形和直线的情景是很普遍的,也就显示了这个线段比关係是相当普遍。另外,梅涅劳斯定理的逆定理也是成立的,也就是说,若是△ABC三边BC、CA及AB或其延长线上,有三点D、E和F,符合

  [BD][DC].[CE][EA].[AF][FB]=1,则D、E和F共线。梅涅劳斯的逆定理,是思考点共线问题的一个方向。

  谈起塞瓦定理与梅涅劳斯定理,其实有点难学,因为课程内没有,奥数里才有,于是练习的都是奥数题目,那当然相当有难度。遇一些写得深入浅出的奥数书还罢了,遇到难的练习,真的会明知要应用,却解不了题。当然,若是遇上这种情况,要练习也可以,就是自己出题目。

  比如说,按题目的情景,画个三角形,然后量度一下线段长度,再用定理验证一下,这也是练习的方法。到验证了几次,也可以改一改情景,由浅入深地练,或者连繫其他定理。

  这种学习当然是难的,比起书中就有练习要困难许多。只是平常的书局里,数学书又少又难找,虽然网上书店有不少,但找到适合自己的还是很困难。

  看一道定理,只要自己有点出题目的能力,就可以验证一下结果,或者跟其他定理综合应用一下,或者对旧题目作一些新的解释,或者加添一些看旧问题的新角度,也是练习的方向。

  这点学习是不是有点刻苦呢?当然的,不过能承担这点苦,也就造成了自己与其他人的分别。越过了一个难关,也就比那些过不了关的人好。才能不是天掉下来的,一关一关地过,就会明白,自己为什幺跟其他人有点分别,然后自信就来了。 ■张志基

  简介:香港首间提供奥数培训之教育机构,每年举办奥数比赛,并积极开办不同类型的奥数培训课程。学员有机会获选拔成为香港代表队,参加海内外重要大赛。详情可浏览:www.hkmos.org。■香港数学奥林匹克学校

  逢星期三见报

评论已关闭!