【奥数揭秘】余数分类

2018-04-11 17:04:09  阅读 24 次 评论 0 条

  小学时学习除数,就会接触到余数的概念。比如除数是5的话,余数可以是4,3,2,1或0,余数总是小于除数。课内数学在处理余数时,多是把余数设为0或以上,这本身固然是对的,不过有些时候,若是把余数的概念推广至可包含负数,在解题中是会有省略步骤的效果。比如刚才以除数为5时作例子,余数就是0,±1和±2。把正整数按固定的除数,把各个余数的情况分开讨论,是常用的技巧。

  以下的问题,就省略步骤这一点说明一下。

  问 题

  求出所有质数p,使得 7p+2 和 10p+7 皆为质数。

  答 案

  若 p=3 ,7×3+2=23 和 10×3+7=37 都是质数。

  若p可表示为3m,其中m为大于1的正整数,则p本身不是质数,不可能。

  若p可表示为 3m+1 ,其中m是正整数,则 7(3m+1)+2=21m+9=3(7m+3) ,是合成数。

  若p可表示为 3m-1 ,其中m是正整数,则 10(3m-1)+7=30m-3=3(10m-1) ,是合成数。

  因此,若要使得 7p+2 和 10p+7 皆为质数,只有p=3 的情况。

  解题过程中,其实就是把所有2或以上的正整数,考虑各数除以3之后的余数,分开讨论,然后在各个情况中得知最终只有的情况才成立条件。

  仔细看看这个解题过程,会发现一开始时,并不是由最小的质数2开始的。那幺它在哪里?原来已包含在 3m-1 的情况之中,因为m是1的时候,3m-1 就是2。而p可表示为 3m-1 的形式,就是p除以3余-1的情况。若不用 3m-1 的形式,也可以用 3m+2 的形式,即p除以3余2的情况。不过这样的话,3m+2 在m是正整数的情况下,就不包括 p=2 的情况,要讨论的话就要另外验算,有点麻烦。

  就以上的问题看,由于除数只是3,余数不多,用 3m-1 或 3m+2 都没什幺大分别,省略不了多少步骤。不过若果除数较大时,余数就多了,额外要讨论的情况就多了,也麻烦了不少。

  把正整数按不同的余数作分类,还可以看到其他性质的。例如可以知道一个平方数p2除3的余数,不会是2。这个怎样理解呢?

  若p是3的倍数,p2当然是3的倍数,可被3整除。

  若p不是3的倍数,则只有 3m+1 和 3m-1 两种形式,而p2=(3m±1)2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1,即除以3的话,余数只能是1。

  从这个例子看来,把除以3的余数分成+1和-1来考虑,讨论时一併考虑,是非常简便。不然的话,若是考虑 3m+1 和 3m+2 两种情况,又会做多了不少步骤。不难推想出,若果除数比较大时,用上了余数可正可负的想法,省去的步骤就多很多了。

  在奥数之中,考虑正整数的性质时,按一个固定的除数,把正整数用余数来做分类,在过程中经常会发现许多奇妙的特性。而用余数做分类时,究竟是正负数都用上了,还是只用0或以上的数,就要按题目而定。这点想法听来是简单的,但解题时效果,随时是把步骤省略了一半,非常方便。奥数里有时就是有些想法,令到表达简洁之余,又不失严格性,那样做题目时也少了因为表达繁琐而产生的失误,长远来说是有益处的。 ■张志基

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